☆ Deux PGCD qui se divisent mutuellement - Vers le supérieur - Corrigé

Énoncé

Soit \(a\) , \(b \in \mathbb{N}^\ast\) . On pose \(d=\mathrm{PGCD}(a;b)\) . On pose  \(d'=\mathrm{PGCD}(3a+2b;17a+11b)\) .

1. Montrer que \(d\) divise \(d'\) .

2. Réciproquement, démontrer que \(d'\) divise \(d\) .

3. En déduire une relation entre \(d\) et \(d'\) .

Solution

1. Comme \(d\) est un diviseur commun à \(a\) et \(b\) , \(d\) divise toute combinaison linéaire de \(a\) et \(b\) . 
En particulier, \(d\) divise \(3a+2b\) et \(17a+11b\) .
Ainsi \(\begin{align*}d \in \mathscr{D}(3a+2b;17a+11b)=\mathscr{D}(d')\end{align*}\) donc \(d\) divise \(d'\) .

2. Comme \(d'\) est un diviseur commun à \(3a+2b\) et \(17a+11b\) , l'entier  \(d'\) divise toute combinaison linéaire de \(3a+2b\) et \(17a+11b\) .
En particulier, \(d'\) divise  \(\begin{align*}17(3a+2b)-3(17a+11b)=51a+34b-51a-33b=b\end{align*}\)  
et  \(\begin{align*}2(17a+11b)-11(3a+2b)=34a+22b-33a-22b=a\end{align*}\) .
Ainsi  \(d'\)  divise  \(a\)  et  \(b\) , donc  \(d' \in \mathscr{D}(a;b)=\mathscr{D}(d)\) , et donc \(d'\) divise \(d\) .

3. Comme \(d\) divise \(d'\) avec \(d \in \mathbb{N}^\ast\) et \(d' \in \mathbb{N}^\ast\) , il existe \(k \in \mathbb{N}^\ast\) tel que \(d'=kd\) .
Comme \(d'\) divise \(d\)   avec \(d \in \mathbb{N}^\ast\) et \(d' \in \mathbb{N}^\ast\) , il existe \(k' \in \mathbb{N}^\ast\) tel que \(d=k'd'\) .
On en déduit que \(d=k'd'=k'(kd)=k'kd\) et donc, en simplifiant par \(d\) , que \(k'k=1\) .
Comme \(k\) , \(k' \in \mathbb{N}^\ast\) , l'égalité \(k'k=1\) implique \(k'=k=1\) , et donc \(d'=d\) .